Sistema batean perturbazio bat izaten denean sistemaren erantzuna higidura periodikoki errepikakorra baldin bada oszilazioak sortu direla esanen dugu.
Higidura oszilakorretan arruntena eta garrantzitsuenetako bat higidura harmoniko sinplea da. Objektu bat oreka-posiziotik lekualdatzean higidura harmoniko sinplea duela esaten da, bere gainean indar berreskuratzaile bat eragiten hasten bada, lekualdatzearekiko proportzionala eta aurkakoa; eta gorputzaren ibilbidea lerro zuzen batean burutzen bada.
Adibideak: Pendulua eta malgukia. Ikus dezagun malgukia
Hookeren legea
Objektu baten azelerazioa lekualdatzearen proportzionala eta aurkako noranzkoa duena baldin bada, orduan objektua higidura harmoniko sinpleaz higitzen da.
Desplazamenduaren ekuazioa denboraren funtzioan:
Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa
edo
eran idazten da. Edozein dela ere hautatutako adierazpen matematikoa,
funtzio sinusoidala da, eta aldatzen den bakarra hasierako fasea nola
adierazi da,
,
eta
baita. Hasierako faseak
aldiunean objektua non zegoen adierazten du. Honakoak dira HHS-aren
ekuazioan ageri diren parametroak:
anplitudea
=
oreka-puntutik desplazamendu handiena (beti positiboa hartuko dugu)
fasea
(kosinu funtzioaren argumentua);
sinu funtzioaren argumentua edo fasea
fase-konstantea edo hasierako fasea
betetzen da eta, hori ziklo osoari dagokio, eta ziklo osoa egiteko
denborari, berriz, T periodoa deritzogu. Beraz,
periodoa
(ziklo osoa egiteko behar den denbora)
,
,
maiztasuna,
,
maiztasun angeluarra edo pultsazioa
Abiadura denboraren funtzioan eta baita desplazamenduaren funtzioan ere:
denboraren funtzioan
eta desplazamenduaren funtzioan:
Azelerazioa denboraren eta desplazamenduaren funtzioan:
HHS-aren ekuazio diferentziala.
Adibidea: Malgukia
denez,
HHS-aren adierazpen grafikoa(adibide baten bidez)
Desplazamendua:
,
rad
eta
direlarik
Abiadura:
Azelerazioa:
Denak batera:
,
,
HHS-aren adierazpen grafikoa
,
,
,
eta
delarik eta A=1m
egin1 eta 2 ariketak
Newtonen 2. legearen arabera
da eta,
denez, orduan
Kalkula dezagun indar berreskuratzaileak bi puntuen artean egiten
duen lana:
bi puntuen arteko lana bi puntu horietan puntu horien menpeko den
funtzio eskalar baten balioen arteko kendura (hasirako ken
ondorekoa). Horrek adierazten du indar berreskuratzailea indar
kontserbakorra dela eta aipatutako funtzio eskalarra energia
potentziala izenaz ezagutzen dugu.
denean
hartuz, ktea=0
Energia mekanikoa, berriz,
da eta,
Demagun solido bat malguki bati atxikia. Indar berreskuratzaileak kontserbakorrak dira eta beti desplazamenduaren aurkakoak direnez negatiboak, beraz:
malguki
baten maiztasun angeluarra edo pultsazioa.
anplitude maximoa delarik
Egin 3. ariketa
MALGUKIAREN HIGIDURA HARMONIKOA
F beti negatiboa, desplazamenduaren aurkakoa → berreskurapen-indarra
denez edozein osziladorearendako
pultsazioa
( edo maiztasun angeluarra)
eta
PENDULU SINPLEAREN HIGIDURA HARMONIKOA
F beti negatiboa idatziko dugu, desplazamenduaren aurkakoa, berreskurapen-indarra denez.
angelu
ttikiendako
PENDULU
FISIKOAREN HIGIDURA HARMONIKOA
Edozein gorputz zurrun, grabitatearen eraginez, era askean puntu finko baten inguruan oszilatzen ari dena, pendulu fisiko izenaz ezagutzen dugu.
Oreka-puntutik lekualdatu ( lekualdatze ttikiak) eta askatzen badugu
berreskurapen-momentuak
barrurantz eragiten dio
,
azelerazio angeluarra, barrurantz sortuz.
Erabilitako metodo hori egokia da edozein geometria duen gorputzen inertzia-momentua kalkulatzeko.
TORTSIO-PENDULUAREN HIGIDURA HARMONIKOA
k
tortsio-penduluaren konstantea izanik
periodoa
Higidura
zirkular uniformeaz higitzen den partikula baten ibilbidea zuzen
baten gainean proiektatzen bada, higidura harmoniko sinplea bihurtzen
da.
,
anplitudea HZRU-aren erradioa izanik
HZRU-aren birabete bakoitza HHS-aren oszilazio bihurtzen da.
HZRU-aren erradioa eta HHS-aren anplitudea balio berekoak dira.
HZRU-aren T periodoa,
abiadura angeluarra eta
hasierako angelua, HHSaren periodoa, pultsazioa eta hasierako fasea
balio berekoak dira, hurrenez, hurren.
OSZILAZIO HARMONIKOEN KONPOSAKETA
Gerta daiteke egoera batzuetan bi higidura harmoniko elkarrekintzan aritzea. Elkarrekintza honen ondorioz beste higidura bat sortuko da hasierako bietatik ezberdina.
Guk kasu berezi bakar bat aztertuko dugu: norabide eta maiztasun berbera duten bi oszilazio harmonikoen konposaketa. Horretarako, gainezarmen printzipioa erabiliko dugu. Demagun hasierako bi HHS-ak hurrengoak direla:
eta
Emaitza
higidura harmonikoa da eta
eran adieraziko dugu. Orduan,
anplitude
ordezkaria eta
,
hasierako fase ordezkaria ezagutu behar ditugu. Analitikoki
kalkulatzea grafikoki kalkulatzea baino zailxeago denez, grafikoki
besterik ez dugu eginen.
Anplitudea bektore gisa hartuko dugu,
eta osagaien bidez
Modulua eta noranzkoa, berriz
da eta, kontuan hartuz
direla, bietako batean angelua askatzea aski dugu noranzkoa
aurkitzeko.
Egin 4. ariketa
Orain
arte ikusitako oszilazioak oszilazio askeak izan dira, hots,
marruskadurarik ez dago eta bere berezko maiztasuna edo maiztasun
naturala du.
Baina, errealitatean beti bada marruskadura, gehiago edo gutxiago. Osziladorea fluido batean murgildurik dagoean (airea bera) marruskadura bada eta oszilazioen anplitudea ttikituz joaten da era esponentzialean denborarekiko; non eta marruskadura handiago orduan eta gehiago ttikizen da.
indargetze-konstantea
Izan bitez periodo osoko diferentzia duten bi puntu:
.
Orduan, bien arteko zatidura:
eta
maiztasuna
osziladorearen
berezko maiztasun angeluarra (edo naturala)
Osziladorea malgukia denean
Marruskadura hori aireak eragin diezaioke edo beste edozein jariakinak, bertan murgildurik baldin badago oszilatzen ari den partikula. Beti ere, eragiten dion indargetze-indarra partikulak duen abiadurarekiko proportzionala da, hots,
Ekuazio diferentzial honen soluzioa:
izanik.
Anplitudea denboran ahuldu egiten da eta baita oszilazioaren energia ere.
Autoaren motelgailuak (amortiguadore) horretan oinarrituak daude.
Demagun osziladore baten gainean kanpoko indar eragile batek eragiten
duela. Demagun, baita, indar eragile hori denboran sinusoidalki
aldatzen dela (aldaketa harmonikoa duela); indar eragile hori honela
adieraziko dugu matematikoki:
.
Orduan, osziladorearen higidura horri higidura harmoniko bortxatua
duela esaten da. Hori erdiesteko, motor baten bidez beste uhin bat
gehitzen zaio osziladorearen berezkoari (ωe indar
eragileak gehitutako maiztasun eragilea, ω0
berezko
maitasunari, edo naturalari).
Osziladorearen desplazamendua oso era konplexuan aldatzen da
denborarekiko, eta honela, denboran bi egoera bereizi ditzakegu:
.
Hasieran, osziladorearen anplitudea aldakorra da eta iragarri ezina da. Egoera iragankorra denborarekin amaitzen da eta egoera iraunkorrean sartuko da. Egoera iragankorra orduan eta lasterrago amaituko da non eta indargetuago egon osziladorea. Egoera iraunkorrean oszilazioen anplitudea konstantea izaten da.
Oszilazio bortxatuen fenomenoa autoen motelgailuetan gertatzen da: autoen gurpiletan bada malguki bat, erdian motelgailu bat duena (indargabetzeko), eta lurzoruko irregulartasunek indar eragilea eragiten dute; honela higidura bortxatua sortzen da.
Indar eragilearen maiztasunarentzat bada balio berezi bat, anplitudea
izugarri handia bihurtzen dena, indar osziladorearen
maiztasuna eta
maiztasun eragilea berdinak direnean:
.
Erresonantzia egoera da aipatutako egoera berezi hori.
Osziladorea indargetua baldin badago orduan eta lehenago aurkituko dugu egoera iraunkorra baina erresonantzian erdietsiko den anplitudea ez da horren handia izanen; non eta indargetze txikiago izan orduan eta denbora gehiago behar da egoera iraunkorrera iristeko, baina erresonantzian erdietsiko den anplitudea oso handia izanen da.
Erresonantzia-fenomenoaren adibide batzuk:
Tacoma Narrows zubiaren suntsitzea (1940an). Une batean haizearen ufaden maiztasuna zubiaren berezko maiztasunaren oso antzekoa izan zen eta erdietsitako oszilazioen anplitudea neurririk gabe handitzean zubiaren egiturak ez zuen jasan ahal izan eta, ondorioz, hautsi zen.
Zubia soldaduak formazioan eta erritmo egokian ibiliz gero zubia suntsi daiteke.
Tranpolin jauzilariek jauziaren erritmoa kontrolatuz askoz ere modu eraginkorragoan egin ditzake jauziak.
Mikrouhin labeetan mikrouhin-erradiazioak ur-molekulen elektroiak bultzatzen ditu sistema molekularraren berezko maiztasunetik hurbil.
Fundy badia (Kanada): Badia honek 270 km hurbileko luzera du. 17
m-ko altuera duten mareak ditu, munduko handienak. Olatuek badia
zeharkatzeko behar duten denbora 12,4 ordukoa da, mareen periodoa
bezala. Orduan erresonantzian sartzen da
(mareen oszilazioaren anplitudea izugarri handitzen da). Gainera,
badia mehartzen da eta uraren altuera handitzen da efektua gehiago
nabarmenduz.
Anplitudea, etengabean, linealki handitzen da denborarekiko.